Αρθρα - απόψεις
Το μεγαλύτερο άλυτο πρόβλημα μαθηματικών
- Λεπτομέρειες
- Δημιουργήθηκε στις Παρασκευή, 13 Φεβρουάριος 2015 21:12
- Δημοσιευμένο στις Παρασκευή, 13 Φεβρουάριος 2015 21:12
- Συντάχθηκε από τον/την Ζαχαρής Φώτης
- Προβολές: 1561
Υπάρχουν ενδείξεις ότι η λύση του προβλήματος μπορεί να είναι κοντά, και ότι οι πλέον υποσχόμενες προσεγγίσεις δεν προέρχονται απο τον μαθηματικό χώρο, αλλά απο την Φυσική!
Έχει εντοπιστεί μια βαθύτατη σύνδεση μεταξύ της υπόθεσης Riemann και του φυσικού κόσμου, μία σύνδεση που όχι μόνο θα μπορούσε να αποδείξει την υπόθεση, αλλά και να φωτίσει την δυσνόητη συμπεριφορά των ατόμων, των μορίων και γενικά των περίπλοκων συστημάτων του μικρόκοσμου.Οι πρώτοι αριθμοί είναι οι βασικοί δομικοί λίθοι των Μαθηματικών. Επιπλέον είναι ζωτική ησημασία τους στην κρυπτογραφία και στην αυξανόμενη σπουδαιότητα τουδιαδικτυακού εμπορίου και των συστημάτων ασφαλείας.
Φαίνονται απλοί με μία "πρώτη" ματιά. Είναι αριθμοί όπως οι 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23 κλπ, που διαιρούνται μόνο με τον εαυτό τους και το 1 (η μονάδα δεν συμπεριλαμβάνεται στους πρώτους).
Ο Ευκλείδης πρώτος απέδειξε οτι οι πρώτοιδεν έχουν τέλος, δηλαδή ότι είναι άπειροι.
Οι πρώτοι είναι τα άτομα του αριθμητικού συστήματος, επειδή o κάθε ένας απο τους υπόλοιπους σύνθετους αριθμούς (που δεν είναι πρώτοι) συντίθεται με μοναδικό τρόπο, και συγκεκριμένα με τον πολλαπλασιασμό πρώτων αριθμών (πχ 3Χ 7 = 21).
Δυστυχώς δεν υπάρχει περιοδικός πίνακας γιά τους πρώτους, που είναιαπρόβλεπτοι μέχρι τρέλας. Η εύρεση νέων πρώτων είναι κατά κανόνα ζήτημα δοκιμής και λάθους.
Τον 19ο αιώνα οι μαθηματικοί βρήκαν λίγη τάξη στο φαινομενικό αυτό χάος. Αν και ο κάθε πρώτος ξεπετιέται αναπάντεχα, η συνολική κατανομή τους ακολουθεί μία τάση, όπως πχ η ρίψη ενός νομίσματος, όπου το αποτέλεσμα είναι μεν απρόβλεπτο, αλλά μετά απο πολλές ρίψεις περιμένουμε να έχουμε περίπου μισές κορώνες και μισά γράμματα.
Οι πρώτοι αριθμοί γίνονται όλο και πιό σπάνιοι όσο ψάχνουμε για μεγαλύτερους(δείτε το διάγραμμα), και οι μαθηματικοί διαπίστωσαν ότι αυτή η αραίωσή τους είναι προβλέψιμη. Η συνάρτηση μέτρησης πρώτων π(x) μετρά το πλήθος των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι ή ίσοι από κάποιο δεδομένο αριθμό x. Tο1792 ο Gauss, σε ηλικία 15 ετών, βρήκε ότι η συνάρτηση μέτρησης πρώτων π(x) υπολογίζεται "περίπου" απο τον τύπο x/ln(x), όπου ln(x) είναι ο φυσικός λογάριθμος του x. Έτσι, για παράδειγμα, υπάρχουν περίπου 400.000.000 πρώτοι αριθμοί (ποσοστό ~ 4%) που είναι μικρότεροι απο τον αριθμό 10.000.000.000 !
Υπόθεση του Ρίμαν
Το 1859, ο Μπέρνχαρτ Ράιμαν παρουσίασε την υπόθεση, που είναι η μόνη που απομένει αναπόδεικτη από τον κατάλογο του Χίλμπερτ. Η υπόθεση αφορά την αλληλουχία των πρώτων αριθμών μεταξύ των θετικών ακέραιων. Πρώτος είναι κάθε θετικός αριθμός, εκτός του 1, ο οποίος δεν διαρείται παρά μόνο από τον εαυτό του και το 1.
Οι πρώτοι δέκα πρώτοι αριθμοί είναι οι 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 και 29. Οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι, αλλά η συχνότητά τους μειώνεται όσο επεκτείνεται η σειρά θετικών ακεραίων προς το άπειρο. Από τους οκτώ αρχικούς θετικούς ακέραιους αριθμούς, οι μισοί είναι πρώτοι, αλλά από τους αρχικούς εκατό, μόλις το ένα τέταρτο είναι πρώτοι, ενώ από τους αρχικούς ένα εκατομμύριο θετικούς ακέραιους, μόλις ο ένας στους δέκα τρεις είναι πρώτος.
Αυτό δημιουργεί το ερώτημα εάν μπορούμε να εξαγάγουμε κάποιο αξιόλογο συμπέρασμα για τον ακριβή τρόπο, με τον οποίο το ποσοστό αυτό μειώνεται σταδιακά. Το αρχικό πρότυπο της ακολουθίας πρώτων αριθμών και όσα γνωρίζουμε για τα μετέπειτα πρότυπα δεν είναι, όμως, ενθαρρυντικά. Τα διαστήματα μεταξύ των αρχικών δέκα πρώτων, για παράδειγμα, είναι 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4 και 6, μία ακολουθία που δεν μοιάζει να έχει εμφανή περιοδικότητα.
Ασχετα από το πόσο μακριά φθάνουμε στην αλληλουχία θετικών ακεραίων, ανακαλύπτουμε ομάδες πολλών πρώτων, συγκεντρωμένες κοντά η μία στην άλλη, καθώς και διαστήματα, όσο μεγάλα θέλει κανείς, στα οποία δεν συναντούμε κανέναν πρώτο αριθμό.
Οι μαθηματικοί, όμως, πέτυχαν να κατανοήσουν -εν μέρει- τον τρόπο με τον οποίο το ποσοστό των πρώτων αριθμών μειώνεται. Αν και η κατανόηση αυτή προήλθε από άλλο κλάδο των Μαθηματικών, που μοιάζει εντελώς άσχετος με τη θεωρία των θετικών ακεραίων, καθώς ασχολείται με τη διαρκή διακύμανση ενός μεγέθους σε σχέση με ένα άλλο. Παρ? όλα αυτά, η απόδειξη της Υπόθεσης του Ρίμαν, εάν και εφόσον επιτευχθεί, θα μπορούσε και αυτή να έχει σημαντικές πρακτικές εφαρμογές στη Φυσική και την τεχνολογία των επικοινωνιών.
Στα μαθηματικά η Υπόθεση Ρίμαν, η οποία εισήχθη από τον Μπέρναρντ Ρίμαν (1859), είναι η εικασία, πως οι μη τετριμμένες ρίζες της συνάρτησης ζήτα του Ρίμαν, έχουν όλες πραγματικό μέρος 1/2. Η ίδια ονομασία χρησιμοποιείται για σχετικά θέματα, όπως η Υπόθεση Ρίμαν για καμπύλες σε πεπερασμένα πεδία.
Η υπόθεση Ρίμαν συνεπάγεται αποτελέσματα για την κατανομή των πρώτων αριθμών. Συμπεριλαμβανομένων κατάλληλων γενικεύσεων, θεωρείται από κάποιους μαθηματικούς, ως το σημαντικότερο άλυτο πρόβλημα των θεωρητικών μαθηματικών(Bombieri 2000). Η υπόθεση Ρίμαν, μαζί με την Εικασία του Γκόλντμπαχ, αποτελεί μέρος του ογδόου προβλήματος του Χίλμπερτ στον κατάλογο του Ντάβιντ Χίλμπερτ των 23 άλυτων προβλημάτων. Αποτελεί επίσης ένα από τα προβλήματα της χιλιετίας του Clay Mathematics Institute.
Η συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν ζ(s) είναι μια συνάρτηση της οποίας το όρισμα s μπορεί να είναι οποιοσδήποτε μιγαδικός αριθμός εκτός του 1, και της οποίας οι τιμές είναι επίσης μιγαδικοί. Έχει ρίζες τους αρνητικούς άρτιους αριθμούς; για τους οποίους ζ(s) = 0, όταν το s είναι ένας από τους -2, -4, -6, .... Αυτές ονομάζονται τετριμμένες ρίζες. Ωστόσο, ακόμη και οι αρνητικοί άρτιοι ακέραιοι δεν είναι οι μόνες τιμές για τις οποίες η συνάρτηση ζήτα είναι μηδέν. Οι άλλες ονομάζονται μη-τετριμμένες ρίζες. Η υπόθεση Ρίμαν αναφέρεται για τις θέσεις αυτών των μη τετριμμένων ριζών, και δηλώνει ότι:
- Το πραγματικό μέρος κάθε μη τετριμμένης ρίζας της συνάρτησης ζήτα είναι 1 2.
Έτσι, εάν η υπόθεση είναι σωστή, όλες οι μη τετριμμένες ρίζες βρίσκονται στην κρίσιμη γραμμή που αποτελείται από τους μιγαδικούς αριθμούς 12 + it, όπου t είναι ένας πραγματικός αριθμός και i είναι η φανταστική μονάδα.